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DEFINICION DE LIMITE
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Límites notables [editar]
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
- (número e)
- (al igual que su recíproca)
- (al igual que su recíproca)
Demostración [editar]
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:
Elevando los términos de la inecuación a -1:
Calculando el límite cuando x tiende a 0:
Lo que es igual a:
Aplicando el teorema del sándwich, el límite se ve forzado a valer 1:
El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. O sea:
El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.
Límite de una sucesión [editar]
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Artículo principal: Límite de una sucesión
La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a . Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:
si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Formalmente:
0, \exists N>0 : \forall n\ge N, |a_n - a|<\epsilon" type="#_x0000_t75" o:spid="_x0000_i1031">
Propiedades de los límites [editar]
Generales [editar]
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.
- Límite por un escalar.
donde k es un multiplicador escalar.
- Límite de una suma.
- Límite de una resta.
- Límite de una multiplicación.
- Límite de una división.
Definición de límite.pdf (112,6 kB)
