Rapidez de cambio

 

                 La expresión        representa el cuociente entre la variación de la variable dependiente (función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a esta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denomina también razón instantánea de cambio.

 

            Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con movimiento unidimensional en función del tiempo x = x(t), en tal caso la razón instantánea de cambio de la posición, corresponde al concepto de rapidez instantánea.

 

 

 

Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre las variables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.

 

Ejemplo:

 

Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.

 

Solución:

 

Si la relación entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas (a) es:

 

V = a³    entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ = 3a ²

 

 

Ejemplo:

 

Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?

 

Solución:

 

Llamando h a la altura del nivel de líquido en cualquier momento, se puede expresar el volumen del contenido en función de h de la forma:    V = π r² h despejando h se tiene:

 

h =      en que π y r son constantes, luego derivando resulta: 

pero dado que ingresa agua a razón de 50 litros por minuto (dV/dt) entonces:

 

 

 

Máximos y mínimos de una función

 

Definición:   Decimos que f(c) es el valor máximo absoluto de una función f en un intervalo (a,b) que contiene a c, si f(c) ≥ f(x) x  (a,b). De manera análoga se define un valor mínimo absoluto de una función en su intervalo.

 

Teorema:    Diremos sin demostración que si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f(x) tiene un máximo y un mínimo en [a,b]

 

 

 

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, f], en este intervalo, la función presenta dos valores máximos en A, C (f(a), f(c)) y un valor mínimo en B (f(b)), se conocen como máximos absolutos.   Los puntos D, F corresponden a mínimos en su entorno y por lo tanto son mínimos relativos, análogamente E que corresponde a un máximo relativo.

 

Definición

 

Decimos que f(c) es un máximo relativo de una función f si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≤ f(c), x  (c – ε, c + ε).

 

Decimos que f(c) es un mínimo relativo de una función f si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≥ f(c), x  (c – ε, c + ε).

 

Teorema

 

Sea f(x) una función continua en el intervalo abierto (a, b) y sea c un punto de este intervalo. Si f(c) es un extremo de f, entonces f´(c) = 0 o bien no existe.

 

Demostración

 

Sea f(c) un valor máximo relativo de f, y supongamos que f ´(c) existe. Entonces existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0 tal que  x ≠ c en este intervalo:

 

(1)                                                f(x) - f(c) ≤ 0

 

 

Cuando x  (c – ε, c):    (2)    x – c < 0

 

De (1) y (2) se sigue que  x  (c – ε, c)      (3)        

 

Por consiguiente:     

 

En forma análoga,  x  (c, c + ε)    (4)     x – c > 0

 

De (1) y (4):                   x  (c, c + ε) y f ´(c) ≤ 0

 

Puesto que por hipótesis f ´(c) existe, tenemos que de f ´(c) ≤ 0 y 0 ≤ f ´(c), se tiene que f´(c) = 0 o bien no existe. La demostración es análoga cuando f(c) es un mínimo relativo de f.

 

Un número c para el cual una función f está definida y para el cual f´(c) = 0 o f´(c) no existe, se llama un número crítico para f.

 

 

 

Criterio de la segunda derivada para cálculo de los extremos.

 

 

                    Así como la primera derivada mide la rapidez de variación de la función, la segunda derivada mide la rapidez de variación de la primera derivada, cuando la segunda derivada es positiva para un número c, significa que la primera derivada es creciente.

 

                    Si f´(c) = 0 y f´´(c) > 0, entonces f ´(x) crece, de valores negativos a valores positivos cuando x crece al pasar por c, es decir, f(c) es un mínimo relativo de f.   En forma semejante, si f ´(c) = 0 y f´´(c) < 0, entonces f ´(c) decrece de valores positivos a valores negativos cuando x crece al pasar por c; esto significa que f(c) es un máximo relativo de f.

 

                   Supongamos que f´ y f´´existen en todo punto en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c y sea f´(c) = 0. Entonces:

 

            1.   Si f´´(c) < 0, f(c) es un máximo relativo de f.

            2.   Si f´´(c) > 0, f(c) es un mínimo relativo de f.

 

 

 

Ejemplo:

 

Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de la función indicada:

                     f(x) = x³ – 6x² – 15x

 

Solución:

 

f´(x) = 3 x² – 12 x – 15 = 0         Þ Puntos críticos:    x₁ = -1   y   x₂ = 5

 

f´´(x) = 6x – 12     Þ      f ´´(-1) = -18 < 0     Þ   en x₁ = -1 se tiene un máximo de f.

 

                              Þ      f´´(5) = 18 > 0     Þ   en x₂ = 5 se tiene in mínimo de f.

 

 

 

 

 

 

 

 

aplicacion de la derivada.pdf (103,6 kB)