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INTEGRACION TRIGONOMETRICA
Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución –desde luego que son válidos los teoremas de integración–, pero sobre todo se deben tener siempre presentes los T5.11 a T5.16.
T5.11 (senu)’=cosu u’
T5.12 (cosu)’= –senu u’
T5.13 (tanu)’= sec2u u’
T5.14 (ctgu)’= –csc2u u’
T5.15 (secu)’= secu tanu u’
T5.16 (cscu)’= -cscu ctgu u’
En lo general después de aplicar las diferentes sugerencias dadas en la teoría T-CI3-100, pero muy en especial:
i. Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.
ii. Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.
iii. Reducir una fracción impropia.
iv. Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.
v. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x).
vi. Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).
Es necesario tener siempre a la mano una tabla de “identidades trigonométricas y sustituyendo adecuadamente, llegarás a las “fórmulas básicas”.
En especial cuando además de los términos trigonométricos existen factores polinómicos o exponenciales, lo más seguro es que la integral propuesta deba ser resuelta por partes.
Algunas de las identidades trigonométricas que te pueden ser útiles son:
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Tabla CI3-300: Identidades trigonométricas útiles |
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Identidades fundamentales |
Del teorema de pitágoras |
Translaciones |
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1. cscx=1/senx |
7. sen2x+cos2x=1 |
10. sen(-x)=–senx |
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2 . secx=1/cosx |
8. 1+tan2x=sec2x |
11. cos(-x)=cosx |
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3. tanx=senx/cosx |
9 . 1+ctg2x=csc2x |
12. tan(-x)=-tan(x) |
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4. ctgx=cosx/senx |
Sumas y restas de ángulos |
13. sen (π/2 –x)=cosx |
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5. tanx=1/ctgx |
18. sen(x+y)=senxcosy+cosxseny |
14. cos(π/2 –x)=senx 15. tan(π/2 –x)=ctgx |
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6. ctgx=1/tanx |
19. sen(x–y)=senxcosy–cosxseny |
Múltiplos de ángulos |
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Ley de senos |
20. cos(x+y)=cosxcosy–senxseny |
24. sen2x=2senxcosx
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16. senA/a=senB/b=senC/c |
21. cos(x–y)=cosxcosy+senxseny |
25. cos2x=cos2x-sen2x 26. cos2x=2cos2x-1 27. cos2x=1-2sen2x |
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Ley del coseno |
22. tan(x+y)=(tanx+tany)/(1–tanxtany) |
28. tan2x=stanx/(1-tan2x) |
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17. c2=a2+b2-2abcosC |
23. tan(x–y)=(tanx–tany)/(1+tanxtany) |
29. sen2x=(1-cos2x)/2 30. cos2x=(1+cos2x)/2 |
