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Máximos y mínimos de una función
Definición: Decimos que f(c) es el valor máximo absoluto de una función f en un intervalo (a,b) que contiene a c, si f(c) ≥ f(x) x (a,b). De manera análoga se define un valor mínimo absoluto de una función en su intervalo.
Teorema: Diremos sin demostración que si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f(x) tiene un máximo y un mínimo en [a,b]
Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, f], en este intervalo, la función presenta dos valores máximos en A, C (f(a), f(c)) y un valor mínimo en B (f(b)), se conocen como máximos absolutos. Los puntos D, F corresponden a mínimos en su entorno y por lo tanto son mínimos relativos, análogamente E que corresponde a un máximo relativo.
Definición
Decimos que f(c) es un máximo relativo de una función f si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≤ f(c), x (c – ε, c + ε).
Decimos que f(c) es un mínimo relativo de una función f si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≥ f(c), x (c – ε, c + ε).
Teorema
Sea f(x) una función continua en el intervalo abierto (a, b) y sea c un punto de este intervalo. Si f(c) es un extremo de f, entonces f´(c) = 0 o bien no existe.
Demostración
Sea f(c) un valor máximo relativo de f, y supongamos que f ´(c) existe. Entonces existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0 tal que x ≠ c en este intervalo:
(1) f(x) - f(c) ≤ 0
Cuando x (c – ε, c): (2) x – c < 0
De (1) y (2) se sigue que x (c – ε, c) (3)
Por consiguiente:
En forma análoga, x (c, c + ε) (4) x – c > 0
De (1) y (4): x (c, c + ε) y f ´(c) ≤ 0
Puesto que por hipótesis f ´(c) existe, tenemos que de f ´(c) ≤ 0 y 0 ≤ f ´(c), se tiene que f´(c) = 0 o bien no existe. La demostración es análoga cuando f(c) es un mínimo relativo de f.
Un número c para el cual una función f está definida y para el cual f´(c) = 0 o f´(c) no existe, se llama un número crítico para f.
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